Главная страница новости/обновления о создании страницы О кафедре общая информация история кафедры сотрудники Для студентов учебный план виды дисциплин рабочие программы расписания занятий задания для сам-х. работ конспекты лекций электронные учебники методические материалы Для абитуриентов методические пособия направления обучения о специальности Научная работа научные направления научные труды научные проекты диссертации научные связи	... дифференциальные уравнения	Фото галерея общие фото личные фото Сервис... сделать домашней в избранное гостевая Ссылки Статистика посещений
	Примерная программа дисциплины ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Рекомендуется Минобразованием России для специальности (направления) подготовки 010200 Прикладная математика и информатика (510200 Прикладная математика и информатика) ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ КУРСА "Дифференциальные уравнения" являются одной из базовых дисциплин в общем образовании математика-прикладника. Опираясь на фундаментальные сведения из математического анализа, геометрии и высшей алгебры, "Дифференциальные уравнения" дают прикладнику одно из мощных средств для анализа явлений и процессов различной природы математическими методами. Ознакомить студентов с начальными навыками математического моделирования, показать возникающие принципиальные трудности при переходе от реального объекта к его математической идеализации, показать разницу между "хорошими" и "Плохими" моделями - важные естественнонаучные задачи курса. Хорошо известно, что математическая модель какого-либо нетривиального явления или процесса лишь в исключительных случаях допускает достаточно полный анализ классическими методами "Дифференциальных уравнений". Поэтому. Чтобы эти классические методы не оставались "вещью в себе" для математика-прикладника, часть бюджета времени выделяется на то, чтобы показать, как синтез классических методов теории дифференциальных уравнений с современными идеями качественных, численных и асимптотических методов, позволяет получать представление о поведении решений достаточно сложных модельных уравнений. ВВЕДЕНИЕ Основные понятия и определения. Примеры возникновения дифференциальных уравнений. Задачи анализа и геометрии. Математические модели детерминированных явлений: вторая гипотеза Ньютона, математический маятник (линейная и нелинейная постановка задачи), колебательный контур с индуктивностью и емкостью, сравнение с моделью математического маятника, экспоненциальная модель и примеры ее использования. Идеология построения адекватных моделей сложных явлений: математическое моделирование в системе хищник-жертва, задача об орбите спутника в реальном поле тяготения Земли. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Поле направлений, изоклины, ломаные Эйлера. Численное решение дифференциального уравнения, как задача математического моделирования. Методы первого, второго и старших порядков. Теорема о независимых интегралах уравнения первого порядка. Теорема Коши-Пикара. Теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий. Дифференцируемость решений по начальным условиям и параметрам.Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Однородные уравнения и приводящиеся к ним. Линейные уравнения и приводящиеся к ним. Уравнения Бернулли и Риккати, методы их решения, наличие особых решений. Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним.Уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной.Постановка задачи Коши и поля направлений, теорема о существовании и единственности решений задачи Коши. Уравнения Лагранжа и Клеро. УРАВНЕНИЯ "n" ПОРЯДКА Задача Коши, граничные задачи. Общий интеграл, общее решение, промежуточные интегралы, понижение порядка уравнения с помощью интегралов. Интегрирование уравнений. Приведение уравнения "n" порядка к системе уравнений первого порядка. НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Теорема Пикара-Коши для нормальной системы. Свойства решений нормальной системы. Теорема о степени гладкости решений. Теорема Пеано. Теорема Коши о существовании голоморфных решений нормальной системы. Теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров. Теоремы о дифференцируемости решений по начальным условиям и параметрам. Теория интегралов нормальной системы. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ Линейные модели и принцип линеаризации. Теорема Пикара-Коши для линейных уравнений и систем. Фундаментальная система решений, теорема о ее существовании. Общее решение однородных уравнений и систем. Общее решение неоднородных уравнений и систем. Метод вариации постоянных. Формула Остроградского-Лиувилля. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения, построение фундаментальной системы решений. Линейный осциллятор, понятие о резонансе. Линейные системы с периодическими коэффициентами. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Система уравнений первого порядка. Система уравнений высших порядков. Каноническая система уравнений высших порядков. Автономная система и ее свойства. Динамические системы, связь между фазовыми кривыми и интегральными кривыми, автономные динамические системы, фазовая плоскость, интегральные многообразия. Системы в симметрической форме. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Определения. Теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости, устойчивости по первому приближению, теорема Четаева о неустойчивости, примеры. Окрестности положений равновесия автономной динамической системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости, понятие о грубой системе. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Обзор методов приближенного построения решений квазиинтегрируемых систем: прямые оценки, метод малого параметра, метод усреднения. Схема Ван-дер-Поля. Теорема Н.Н.Боголюбова для "стандартных" систем. Понятие об эволюционных переменных. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Особенности решений, сравнение с обыкновенными уравнениями, примеры. Задача Коши. Уравнения первого порядка: линейные уравнения (характеристики, теорема об общем решении, решение задачи Коши), квазилинейные уравнения (решение в неявной форме, общее и специальное решение, решение задачи Коши). Геометрические представления в трехмерном пространстве (непрерывное векторное поле, линии поля, геометрические свойства интегральных поверхностей, характеристики и интегральные поверхности). РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ № Наименование тем и разделов Всего (часов) Аудиторные занятия (часов) Самостоятельная работа (часов) 1 Уравнения первого и n-го порядка 66 46 20 2 Нормальные системы уравнений 30 20 10 3 Линейные уравнения и системы уравнений 46 32 14 4 Теория устойчивости и приближенные методы 30 20 10 5 Уравнения в частных производных 12 8 4 6 Коды 18 12 6 = ИТОГО 184 126 58 Примечание:Во всех разделах таблицы указано минимальное число часов, необходимое для усвоения соответствующего раздела. Оставшиеся часы используются в рабочей программе для более глубокого изложения отдельных разделов курса. Форма итогового контроля - экзамен. ЛИТЕРАТУРА Основная Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 231 с. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982. 331 с. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1979. 128 с. Дополнительная Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз. 1959. 468 с. Петровский И.Ю. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. 280 с. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.240с. Матвеев Н.М. методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа. 1963. 548 с. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Высшая школа. 1978. 288 с. Программа составлена профессором А.А.Хентовым (Нижегородский университет) Рецензент: профессор академик РАЕН В.И.Дмитриев (Московский университет)
Используйте Internet Explorer 5 Flash Player 5 WebMaster | PageMaker