Главная страница

новости/обновления
о создании страницы

О кафедре

общая информация
история кафедры
сотрудники

Для студентов

учебный план
виды дисциплин
рабочие программы
расписания занятий
задания для сам-х. работ
конспекты лекций
электронные учебники
методические материалы

Для абитуриентов

методические пособия
направления обучения
о специальности

Научная работа

научные направления
научные труды
научные проекты
диссертации
научные связи

... математический анализ

Фото галерея

общие фото
личные фото

Сервис...

сделать домашней
в избранное
гостевая

Ссылки


Яндекс цитирования

!!!Яндекс - найдется Все!!!

Статистика

посещений


Примерная программа дисциплины
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Рекомендуется Минобразованием России для специальности (направления) подготовки 010200 Прикладная математика и информатика (510200 Прикладная математика и информатика)

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ КУРСА

Цель дисциплины "Математический анализ" - ознакомление с фундаментальными методами исследования переменных величин посредством анализа бесконечно малых, основу которого составляет теория дифференциального и интегрального исчисления. Объектами изучения в данной дисциплине являются прежде всего функции. С их помощью могут быть сформулированы как законы природы, так и разнообразные процессы, происходящие в технике. Отсюда объективная важность математического анализа как средства изучения функций. Дисциплина "Математический анализ" отражает важное направление развития современной математики, в ней рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений. Поэтому при разработке рабочей программы особое внимание должно быть обращено на выделение алгоритмических аспектов математического анализа.
ВВЕДЕНИЕ
Предмет математического анализа. Естествознание как источник основных понятий математического анализа. Очерк развития математического анализа.
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Действительные числа. Элементы теории множеств. Существование точных граней ограниченных числовых множеств. Счетные множества. Несчетность множества действительных чисел. Сходящиеся последовательности и их свойства. Критерий Коши сходимости последовательности. Сходимость монотонных последовательностей. Число "е". Предельные точки последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы числовых последовательностей. Функция действительной переменной. Предельное значение функции в точке по Коши и по Гейне. Критерий Коши существования предела. Существование односторонних пределов у монотонных функций. Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва. Свойства непрерывных функций на отрезке. Непрерывность элементарных функций. Теоремы Вейерштрасса. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора. Производная. Геометрический и механический смысл производной. Первый дифференциал функции в точке. Производные и дифференциалы суммы, произведения и частного. Производная сложной функции и инвариантность формы первого дифференциала. Дифференцирование обратной функции. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и Дарбу. Правила Лопиталя. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Производные высших порядков элементарных функций. Формула Тейлора. Разложение по формуле Тейлора элементарных функций. Символы "О" и "о". Исследование графиков функций. Условие монотонности дифференцируемых функций. Условие выпуклости графика функций. Точки экстремума функций. Необходимое и достаточное условия экстремума в точке. Асимптоты. Точки перегиба. Общая схема построения графика функции. Приближенные методы вычисления корней уравнений. Метод последовательных приближений. Метод хорд. Метод касательных. Оценки погрешностей. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Интегрирование элементарных функций. Определенный интеграл Римана. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману. Свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем значении. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям. Несобственный интеграл Римана от функций, определенных на полупрямой и на всей числовой прямой. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости. Несобственный интеграл от неограниченной функции на отрезке. Главное значение несобственного интеграла. Длина дуги, площадь фигуры, объем тела. Общая схема применения интеграла Римана к вычислению геометрических, механических и физических величин. Приближенное вычисление интегралов Римана: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Оценка погрешности.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Евклидово пространство. Алгебраические свойства, скалярное произведение, метрика. Сходящиеся последовательности и их свойства. Критерий Коши существования предела. Предельные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Функции нескольких действительных переменных. Предел функции в точке. Непрерывность функции. Теоремы Вейерштрасса. Равномерная непрерывность функций. Теорема Кантора. Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость функции в точке. Связь дифференцируемости с существованием частных производных. Геометрический смысл дифференцируемости. Дифференцируемость сложных функций и инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Неявные функции. Теоремы существования, дифференцируемости неявных функций. Вычисление производных неявных функций. Системы функций и векторные функции. Теоремы об обратной функции. Теоремы о зависимости и независимости системы функций. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума в терминах первого дифференциала. Достаточные условия экстремума. Понятие об условном экстремуме. Общая схема отыскания наибольших и наименьших значений функции нескольких переменных.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
Основные понятия о числовых рядах. Критерий Коши сходимости рядов. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. Признаки Коши и Даламбера. Интегральный признак Коши-Маклорена. Абсолютная и условная сходимости. Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле. Арифметические операции над сходящимися рядами. Бесконечные произведения. Двойные и повторные ряды. Понятие об обобщенных методах суммирования расходящихся числовых рядов. Функциональные последовательности. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Теоремы о непрерывности предельной функции и о почленном интегрировании и дифференцировании. Функциональные ряды. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Двойные, тройные и n-кратные интегралы Римана. Условие интегрируемости функции и классы интегрируемых функций. Свойства интеграла Римана. Сведение кратных интегралов к повторным. Замена переменных. Понятие о несобственных кратных интегралах Римана. Главное значение несобственного интеграла. Общая схема применения кратных интегралов Римана к задачам геометрии, механики и физики. Способы задания для кривых на плоскости и в пространстве. Касательная и нормаль. Кривизна и радиус кривизны. Криволинейные интегралы второго рода. Понятие поверхности в трехмерном пространстве и способы задания для задания поверхности. Касательная плоскость и нормаль. Поверхностные интегралы первого и второго рода. Основные операции теории поля и их выражение в криволинейных координатах. Формулы Грина, Стокса и Остроградского и их приложения. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости. Интегрирование и дифференцирование несобственных интегралов по параметру. Гамма-функция и бета-функция, их основные свойства. Формула Стирлинга.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Ортонормированные системы в евклидовых пространствах. Ряды Фурье по ортонормированным системам. Неравенство Бесселя. Замкнутые и полные ортонормированные системы. Равенство Парсеваля. Тригонометрическая система и ее замкнутость. Тригонометрические ряды Фурье. Условия равномерной сходимости и сходимости в точке. Условия почленного дифференцирования. Преобразование Фурье. Свойства преобразования Фурье. Понятие об обратном преобразовании Фурье. Интеграл Фурье.
МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Мера Лебега на прямой и в n-мерном пространстве. Измеримые множества. Счетная аддитивность меры Лебега. Измеримые функции. Сходимость почти всюду и сходимость по мере, связь между ними. Интеграл Лебега по измеримому множеству конечной меры. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана. Теоремы Лебега, Леви и Фату о предельном переходе под знаком интеграла.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Комплексные числа. Сходящиеся последовательности комплексных чисел. Критерий Коши. Расширенная комплексная плоскость (сфера Римана). Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции в точке. Простейшие элементарные функции комплексного переменного и соответствующие им отображения (линейная функция, дробно-линейная функция, показательная и логарифмическая функции, степенная функция, функция Жуковского). Производная функции комплексного переменного. Аналитические функции. Условия Коши-Римана и гармонические функции. Дифференцирование элементарных функций. Интеграл от функции комплексного переменного. Интеграл Коши и интегральная формула Коши. Степенные ряды. Аналитические функции и их разложения в степенные ряды. Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций. Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация. Ряд Лорана. Изучение аналитических функций в окрестности бесконечно удаленной точки. Вычеты и основная теорема о вычетах. Применение к вычислению интегралов. Лемма Жордана. Конформные отображения односвязных областей. Примеры. Теорема Римана (без доказательства). Преобразование Лапласа и понятие об операционном исчислении.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ЛАБОРАТОРНЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Теория действительных чисел.
Предел последовательности.
Предел функции.
Производные и дифференциалы функции одного переменного.
Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл Римана.
Предел, непрерывность и дифференцируемость функций нескольких переменных.
Неявные функции.
Экстремум функции нескольких переменных.
Сходимость числовых рядов.
Равномерная сходимость, свойства функциональных последовательностей и рядов.
Разложение функций в степенные ряды.
Кратные интегралы и их применение.
Основные операции теории поля.
Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Ряды и интеграл Фурье.
Комплексные числа.
Свойства аналитических функций.
Ряд Лорана.
Вычеты и их применение.
Конформные отображения.
Преобразование Лапласа и его применение для решения дифференциальных уравнений.
Ориентировочное число контрольных работ - 9.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ
Наименование тем и разделов Всего (часов) Аудиторные занятия (часов) Самостоятельная работа (часов)
1 Функции одной переменной 220 152 68
2 Функции нескольких переменных 102 72 30
3 Функциональные последовательности и ряды 102 72 30
4 Интегрирование функций нескольких переменных 144 104 40
5 Ряды Фурье и преобразование Фурье 70 48 22
6 Мера и интеграл Лебега 54 24 30
7 Функции комплексного переменного 106 76 30
= ИТОГО 798 548 250
Примечание:Во всех разделах таблицы указано минимальное число часов, необходимое для усвоения соответствующего раздела. Оставшиеся часы используются в рабочей программе для более глубокого изложения отдельных разделов курса.
Форма итогового контроля - экзамен, зачет.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: Учеб.: В 2 ч.: М., Наука, 1982.
Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ: Учеб.: М., Наука, 1979. 719 с.
Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ: Учеб.: В 2 ч. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1985-1987.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб.: В 2-х т. М.: Наука, 1981.
Никольский С.М. Курс математического анализа: Учеб.: В 2-х т. М.: Наука, 1983.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.: Учеб. пособие. М.: Наука, 1979.736 с.
Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: Учеб. М.: Наука, 1979. 319 с.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учеб. М.: Наука, 1981. 542 с.
Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной: Учеб. пособие. М.: Наука, 1974. 480 с.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие. М.: Наука, 1979.527 с.
Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу: Учеб. пособие: В 2 ч. М.: Наука, 1984-1986.
Дополнительная
Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учеб.: В 4 т. М.: Наука, 1981. Т. 1-2.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учеб. пособие. В 3 т. М.: Наука, 1969-1970.
Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.
Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие: В 2 т.. Т. 1. М.: Гостехиздат, 1957. Т. 2. М.: Физматгиз, 1959.
Программа составлена академиком РАН В.А.Ильиным (Московский университет).
Рецензент: профессор И.А.Киприянов(Воронежский государственный университет)

Используйте
Internet Explorer 5 Flash Player 5
WebMaster | PageMaker

Hosted by uCoz